概要

$m$ x $n$ 行列 $A$ は、特異値分解 SVD (Singular Value Decomposition) によって次の形式に分解できます。

$$A = U \cdot W \cdot V^T $$

$W$ は対角行列で、対角成分は特異値とよばれます。特異値のうち大きい方からいくつかのみを残して残りを 0 にすることで、もとの行列 $A$ を近似できます。OpenCV で読み込んで cv::Mat に格納した画像データを特異値分解して、低ランク近似してみます。

画像データの特異値分解および低ランク近似

#include <opencv2/opencv.hpp>

int main() {
    cv::Mat img = cv::imread("aaa.png", -1);
    if(img.empty()) {
        return -1;
    }

    // グレースケール画像に変換
    cv::Mat gray;
    cv::cvtColor(img, gray, cv::COLOR_BGR2GRAY);

    // 画像情報の調査
    std::cout << gray.size() << std::endl; //=> [200 x 200]
    std::cout << gray.channels() << std::endl; //=> 1
    std::cout << (gray.type() == CV_8U) << std::endl; //=> 1

    // 特異値分解
    cv::Mat A, W, U, Vt;
    gray.convertTo(A, CV_64F); // 型変換 CV_8U -> CV_64F
    cv::SVD::compute(A, W, U, Vt);
    std::cout << W.size() << std::endl; //=> [1 x 200]

    // U および Vt は直交行列です。転置行列が逆行列と等しくなります。
    std::cout << (U.t() * U).diag() << std::endl;
    std::cout << (Vt.t() * Vt).diag() << std::endl;

    // 低ランク近似
    cv::Size sz = gray.size();
    cv::Mat W2 = cv::Mat(sz.height, sz.width, CV_64F);
    W2.setTo(0.0);

    for(int i = 0; i < 50; i++) {
        W2.at<double>(i, i) = W.at<double>(i, 0);
    }
    cv::Mat A2 = U * W2 * Vt;
    A2.convertTo(A2, CV_8U);

    cv::namedWindow("rank = 50", cv::WINDOW_AUTOSIZE);
    cv::imshow("rank = 50", A2);
    cv::waitKey(0);
    cv::destroyWindow("rank = 50");
    return 0;
}

低いランクでも十分にもとの画像を近似できていることが分かります。